Кузница программистов

----------------------------------------------------------------------------------------------
https://symbl.cc/en/unicode-table/#comb ... ical-marks
тут можно скопировать значение степени для вставки на форум
----------------------------------------------------------------------------------------------

Пример расчета:

----------------------------
RSA
Выбираем простые числа.
например:
p=5
q=11

----------------------------
считаем модуль
n=p⋅q = 5⋅11=55
n=55

----------------------------
считаем функцию Эйлера
φ(n)=(p−1)(q−1)=4⋅10=40
φ(n)=40

----------------------------
выбираем открытый ключ "e"
Берём число, которое взаимно просто с 40:
// что это значит:
// у числа "e" и числа "40" не должно быть общих делителей кроме "1".
// То есть:
// НОД(e,40)=1

итого: открытый ключ e=3
e=3
----------------------------
находим закрытый ключ "d"

Нужно:
e⋅d≡1(mod 40) ----- Знак "mod" означает - какой остаток получится при делении на 40

Пробуем:
3⋅27=81
81 mod 40 =1 ( 81/40=2 и остаток 1 - оно то нам и нужно. )

Значит:
d=27

Итого ключи:
Открытый ключ: (e=3,n=55)
Закрытый ключ: (d=27,n=55)

----------------------------
Пусть сообщение — какое то число:
M=7
----------------------------
"Хэш" (максимально упрощённо)
H(M)=7
(в реальности это SHA-256, но здесь просто число)

----------------------------
Подпись (ключевой момент)
Формула RSA подписи:
S=H(M) ͩ mod n -------- ( в степени "d" )

Подставляем значения:
S=7²⁷ mod 55 ------ ( 7 в степени 27 , остаток от деления на 55 )

Считаем по шагам (быстро через степени):

7²⁷ = 65712362363534280139543
65712362363534280139543 : 55 = 1194770224791532366173,5090909091
выбираем только целое число = 1194770224791532366173
теперь считаем сколько целых было: 1194770224791532366173 * 55 = 65712362363534280139515
считаем остаток: 65712362363534280139543 - 65712362363534280139515 = 28
S=28
Подпись получена.

----------------------------------

сообщение: 7
подпись: 28

----------------------------------

Проверка подписи :

Проверяющий знает:
e=3 ( открытый ключ )
n=55 ( модуль )
S=28 ( подпись )

Формула проверки: H′=S ͤ mod n

Подставляем: H′=28³ mod 55

H′=21952 mod 55

ищем остаток от деления на 55
21952 / 55 = 399,12727272727272727272727272727
оставляем только целую часть = 399
считаем 399 * 55 = 21945
находим остаток 21952 - 21945 = 7
H′=7

---------------------------------
Сравним:
исходный хэш : 7
восстановленный хэш : 7

на стороне приемника нужно получить ХЭШ от принятых данных и сравнить с расшифрованным ХЭШем
---------------------------------